一、课上练习

编程练习

1. 二进制数转十进制数：L2111
2. 十进制数转二进制数：L2112
3. 进制转换：L2113

二、知识总结

✨ 进制转换的核心思想

记数系统是一套用于表示和处理数字的符号规则体系，包括数字符号和记数规则。不同的文明和应用场景发展出了不同的记数系统。

✨ 进制的数字符号

数字符号有非常多的种类，数学和计算机中常用阿拉伯数字来进行记数。

其他常见数字符号如下：

• 阿拉伯数字：1、2、3、4、5、......
• 中文数字：一、二、三、四、五、......
• 罗马数字：I、II、III、IV、V、......

✨ 进位制

进位制是日常最常用的记数规则。n 进制就是使用 n 种数字符号来记数，满 n 进 1。

常见的进位制包括：

• 十进制：使用 0-9 这 10 种数字符号记数，满 10 进 1
• 二进制：使用 0-1 这 2 种数字符号记数，满 2 进 1
• 八进制：使用 0-7 这 8 种数字符号记数，满 8 进 1
• 十六进制：使用 0-9 和 A、B、C、D、E、F 这 16 种数字符号记数，满 16 进 1

除此之外，很多单位转换也利用了 n 进制的思想，例如：

• 5 个手指为 1 只手
• 60 秒为 1 分钟，60 分钟为 1 个小时
• 365 天为 1 年
• 1024B 为 1KB，1024KB 为 1MB，1024MB 为 1GB

✨ 十进制转 n 进制

十进制转 n 进制分为整数部分的转换和小数部分的转换。十进制转 n 进制的过程与十进制求每一位上的数是什么的过程极为相似，如果不记得具体的求解方式，可以通过考虑如何获得十进制各个位上的数来梳理思路。

整数部分转换

方法：除基取余，逆序排列

将十进制整数转换为 n 进制整数的步骤：

1. 用十进制整数不断整除 n，记录每次的余数
2. 重复直到商为 0
3. 将记录的余数逆序排列，即得到 n 进制整数

示例1：将十进制数 456 转为二进制

从右到左依次求各位的值：

将余数从下往上排列，得到二进制整数为：111001000

示例2：将十进制数 100 转为八进制

将余数从下往上排列，得到八进制数：144

验证：1 \ 8^2 + 4 \ 8^1 + 4 \* 8^0 = 64 + 32 + 4 = 100 ✓

示例3：将十进制数 255 分别转为二进制、八进制、十六进制

1. 转二进制（除2取余）：
   • 255 / 2 = 127 余 1 → 127 / 2 = 63 余 1 → 63 / 2 = 31 余 1 → 31 / 2 = 15 余 1 → 15 / 2 = 7 余 1 → 7 / 2 = 3 余 1 → 3 / 2 = 1 余 1 → 1 / 2 = 0 余 1
   • 结果：11111111（8 个 1）
2. 转八进制（除8取余）：
   • 255 / 8 = 31 余 7 → 31 / 8 = 3 余 7 → 3 / 8 = 0 余 3
   • 结果：377
3. 转十六进制（除16取余）：
   • 255 / 16 = 15 余 15(F) → 15 / 16 = 0 余 15(F)
   • 结果：FF

验证：11111111(2) = 377(8) = FF(16) = 255(10) ✓

小数部分转换

方法：乘基取整，正序排列

将十进制小数转化为 n 进制小数的步骤：

1. 将十进制数的小数部分乘以 n，记录整数部分
2. 取剩余小数部分继续乘以 n
3. 重复直到小数部分变为 0（或达到精度要求）
4. 将记录的整数部分正序排列，即得到 n 进制小数

注意：整数部分转换是"逆序"，小数部分转换是"正序"，两者方向相反，不要混淆！

示例1：将十进制数 0.625 转为二进制

从左到右依次求各位的值：

二进制小数为：0.101

验证：1 \ 2^(-1) + 0 \ 2^(-2) + 1 \* 2^(-3) = 0.5 + 0 + 0.125 = 0.625 ✓

示例2：将十进制数 0.7 转为二进制（无限循环小数）

二进制小数为：0.10110...（无限循环）

提示：并非所有十进制小数都能精确转换为 n 进制小数，可能产生无限循环小数。这也是计算机中浮点数精度问题的根源之一。

示例代码

下面的代码实现了十进制整数转任意 n 进制的功能：

1#include <bits/stdc++.h>
2using namespace std;
3
4string decimal2base(int decimal_number, int base) {
5        if (decimal_number == 0) {
6                return "0";
7        }
8        string base_number;
9        while (decimal_number) {
10                int value = decimal_number % base;
11                char digit;
12                if (value < 10) {
13                        digit = value + '0';
14                } else {
15                        digit = value - 10 + 'A';
16                }
17                base_number += digit;
18                decimal_number /= base;
19        }
20        int len = base_number.length();
21        for (int i = 0; i < len / 2; ++i) {
22                swap(base_number[i], base_number[len - 1 - i]);
23        }
24        return base_number;
25}
26
27int main() {
28        int n;
29        cin >> n;
30        for (int i = 0; i < n; ++i) {
31                int base, decimal_number;
32                cin >> base >> decimal_number;
33                string base_number = decimal2base(decimal_number, base);
34                cout << base_number << endl;
35        }
36        return 0;
37}

✨ n 进制转十进制

n 进制转十进制只需要把 n 进制每一位的数值乘以该位的权重即可。权重就是 n 的对应次幂，类似于已知十进制数上的每一位求十进制数。

整数部分转换

方法：按权展开，逐位求和

将 n 进制整数转换为十进制整数的步骤：

1. 从最右边一位开始，权重为 n^0 = 1
2. 每一位的数值乘以对应权重（从右到左依次是 n^0、n^1、n^2...）
3. 将所有结果求和，即得到十进制整数

示例1：二进制数 111001000 转十进制

结果：256 + 128 + 64 + 8 = 456 ✓

示例2：十六进制数 2A3 转十进制

结果：512 + 160 + 3 = 675 ✓

小数部分转换

方法：按权展开，逐位求和（负幂次）

将 n 进制小数转换为十进制小数的步骤：

1. 从小数点后第一位开始，权重为 n^(-1)
2. 每一位的数值乘以对应权重（从左到右依次是 n^(-1)、n^(-2)、n^(-3)...）
3. 将所有结果求和，即得到十进制小数

示例：二进制小数 0.101 转十进制

结果：0.5 + 0 + 0.125 = 0.625 ✓

秦九韶算法（Horner 法则）

在代码实现中，n 进制转十进制通常不需要逐位计算幂次，而是使用更高效的秦九韶算法。

核心公式：decimalnumber = decimalnumber * base + value

以十六进制 "2A3" 转十进制为例，跟踪执行过程：

这种方法从高位到低位逐步累积，避免了计算幂次，非常巧妙高效。

原理说明： 以 "2A3" 为例，按权展开是 2 \ 16^2 + 10 \ 16^1 + 3 \ 16^0，通过提取公因式变形为 ((2) \ 16 + 10) \* 16 + 3，这正是代码的计算顺序。

示例代码

下面的代码实现了任意 n 进制整数转十进制的功能：

1#include <bits/stdc++.h>
2using namespace std;
3
4int base2decimal(string &base_number, int base) {
5        int decimal_number = 0;
6        int len = base_number.length();
7        for (int i = 0; i < len; ++i) {
8                char digit = base_number[i];
9                int value;
10                if (digit >= '0' && digit <= '9') {
11                        value = digit - '0';
12                }
13                if (digit >= 'A' && digit <='Z') {
14                        value = digit - 'A' + 10;
15                }
16                decimal_number = decimal_number * base + value;
17        }
18        return decimal_number;
19}
20
21int main() {
22        int n;
23        cin >> n;
24        for (int i = 0; i < n; ++i) {
25                int base;
26                string base_number;
27                cin >> base >> base_number;
28                int decimal_number = base2decimal(base_number, base);
29                cout << decimal_number << endl;
30        }
31        return 0;
32}

✨ 进制转换的常见错误

1. 余数排列顺序搞反：十进制转 n 进制时，余数应该从下往上（即逆序）排列，很多同学按计算顺序正序排列导致结果反了
2. 十六进制字母处理错误：十六进制中 10-15 对应 A-F，编码时容易忘记处理字母，或者把 value - 10 + 'A' 写错
3. n 进制转十进制时权重算错：最右边一位的权重是 n^0 = 1，不是 n^1，从右往左依次是 n^0、n^1、n^2...
4. 特殊值 0 没有处理：当输入为 0 时，除基取余的循环不会执行，需要特判直接输出 "0"
5. 混淆整数部分和小数部分的转换方向：整数部分是"除基取余，逆序排列"，小数部分是"乘基取整，正序排列"，两者方向相反

三、课后练习

编程练习

1. 进制判断：L2114
2. 回文平方数：L2115

基础知识练习

• 进制转换 - 选择题